添加 problem 509

Author: halfrost

Algorithms/0509. Fibonacci Number/509. Fibonacci Number.go

@@ -0,0 +1,110 @@
+package leetcode
+
+import "math"
+
+// 解法一 递归法 时间复杂度 O(2^n)，空间复杂度 O(n)
+func fib(N int) int {
+	if N <= 1 {
+		return N
+	}
+	return fib(N-1) + fib(N-2)
+}
+
+// 解法二 自底向上的记忆化搜索 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)
+func fib1(N int) int {
+	if N <= 1 {
+		return N
+	}
+	cache := map[int]int{0: 0, 1: 1}
+	for i := 2; i <= N; i++ {
+		cache[i] = cache[i-1] + cache[i-2]
+	}
+	return cache[N]
+}
+
+// 解法三 自顶向下的记忆化搜索 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)
+func fib2(N int) int {
+	if N <= 1 {
+		return N
+	}
+	return memoize(N, map[int]int{0: 0, 1: 1})
+}
+
+func memoize(N int, cache map[int]int) int {
+	if _, ok := cache[N]; ok {
+		return cache[N]
+	}
+	cache[N] = memoize(N-1, cache) + memoize(N-2, cache)
+	return memoize(N, cache)
+}
+
+// 解法四 优化版的 dp，节约内存空间 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)
+func fib3(N int) int {
+	if N <= 1 {
+		return N
+	}
+	if N == 2 {
+		return 1
+	}
+	current, prev1, prev2 := 0, 1, 1
+	for i := 3; i <= N; i++ {
+		current = prev1 + prev2
+		prev2 = prev1
+		prev1 = current
+	}
+	return current
+}
+
+// 解法五 矩阵快速幂 时间复杂度 O(log n)，空间复杂度 O(log n)
+// | 1 1 | ^ n   = | F(n+1) F(n)   |
+// | 1 0 |		   | F(n)	F(n-1) |
+func fib4(N int) int {
+	if N <= 1 {
+		return N
+	}
+	var A = [2][2]int{
+		{1, 1},
+		{1, 0},
+	}
+	A = matrixPower(A, N-1)
+	return A[0][0]
+}
+
+func matrixPower(A [2][2]int, N int) [2][2]int {
+	if N <= 1 {
+		return A
+	}
+	A = matrixPower(A, N/2)
+	A = multiply(A, A)
+
+	var B = [2][2]int{
+		{1, 1},
+		{1, 0},
+	}
+	if N%2 != 0 {
+		A = multiply(A, B)
+	}
+
+	return A
+}
+
+func multiply(A [2][2]int, B [2][2]int) [2][2]int {
+	x := A[0][0]*B[0][0] + A[0][1]*B[1][0]
+	y := A[0][0]*B[0][1] + A[0][1]*B[1][1]
+	z := A[1][0]*B[0][0] + A[1][1]*B[1][0]
+	w := A[1][0]*B[0][1] + A[1][1]*B[1][1]
+	A[0][0] = x
+	A[0][1] = y
+	A[1][0] = z
+	A[1][1] = w
+	return A
+}
+
+// 解法六 公式法 f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -[(1-√5)/2]^n}，用 时间复杂度在 O(log n) 和 O(n) 之间，空间复杂度 O(1)
+// 经过实际测试，会发现 pow() 系统函数比快速幂慢，说明 pow() 比 O(log n) 慢
+// 斐波那契数列是一个自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当 n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近 0.618）。
+// 斐波那契数列用计算机计算的时候可以直接用四舍五入函数 Round 来计算。
+func fib5(N int) int {
+	var goldenRatio float64 = float64((1 + math.Sqrt(5)) / 2)
+	return int(math.Round(math.Pow(goldenRatio, float64(N)) / math.Sqrt(5)))
+}

Algorithms/0509. Fibonacci Number/509. Fibonacci Number_test.go

@@ -0,0 +1,53 @@
+package leetcode
+
+import (
+	"fmt"
+	"testing"
+)
+
+type question509 struct {
+	para509
+	ans509
+}
+
+// para 是参数
+// one 代表第一个参数
+type para509 struct {
+	one int
+}
+
+// ans 是答案
+// one 代表第一个答案
+type ans509 struct {
+	one int
+}
+
+func Test_Problem509(t *testing.T) {
+
+	qs := []question509{
+
+		question509{
+			para509{1},
+			ans509{1},
+		},
+
+		question509{
+			para509{2},
+			ans509{1},
+		},
+
+		question509{
+			para509{3},
+			ans509{2},
+		},
+		// 如需多个测试，可以复制上方元素。
+	}
+
+	fmt.Printf("------------------------Leetcode Problem 509------------------------\n")
+
+	for _, q := range qs {
+		_, p := q.ans509, q.para509
+		fmt.Printf("【input】:%v       【output】:%v\n", p, fib(p.one))
+	}
+	fmt.Printf("\n\n\n")
+}

Algorithms/0509. Fibonacci Number/README.md

@@ -0,0 +1,57 @@
+# 509. Fibonacci Number
+
+Created Time: Aug 24, 2019 2:52 PM
+Difficulty: Easy
+Link: https://leetcode.com/problems/fibonacci-number/
+Tags: Array,Dynamic Programming,Math,Recursive
+
+## 题目:
+
+The **Fibonacci numbers**, commonly denoted `F(n)` form a sequence, called the **Fibonacci sequence**, such that each number is the sum of the two preceding ones, starting from `0` and `1`. That is,
+
+    F(0) = 0,   F(1) = 1
+    F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), for N > 1.
+
+Given `N`, calculate `F(N)`.
+
+**Example 1:**
+
+    Input: 2
+    Output: 1
+    Explanation: F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.
+
+**Example 2:**
+
+    Input: 3
+    Output: 2
+    Explanation: F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2.
+
+**Example 3:**
+
+    Input: 4
+    Output: 3
+    Explanation: F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.
+
+**Note:**
+
+0 ≤ `N` ≤ 30.
+
+
+## 题目大意
+
+斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
+
+```
+F(0) = 0,   F(1) = 1
+F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
+```
+
+给定 N，计算 F(N)。
+
+提示：0 ≤ N ≤ 30
+
+## 解题思路
+
+
+- 求斐波那契数列
+- 这一题解法很多，大的分类是四种，递归，记忆化搜索(dp)，矩阵快速幂，通项公式。其中记忆化搜索可以写 3 种方法，自底向上的，自顶向下的，优化空间复杂度版的。通项公式方法实质是求 a^b 这个还可以用快速幂优化时间复杂度到 O(log n) 。