物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINN）是一种融合数据驱动与物理先验的创新建模方法，核心目标是高效求解偏微分方程（PDE）。
传统深度学习仅依靠数据训练模型，缺乏物理规律的约束，预测结果往往违背质量守恒、能量守恒等基本物理逻辑；传统数值方法（如有限差分法、有限元法）依赖网格离散，在高维（10维及以上）问题中会遭遇严重的维数灾难，计算复杂度呈指数级增长。
PINN 打破上述局限，将物理定律以“软约束”或“硬约束”的形式嵌入神经网络训练流程，实现“数据+物理”的双驱动建模，为偏微分方程求解提供了灵活、高效的新思路。
PINN 的本质是用神经网络逼近 PDE 解函数，并通过物理约束优化网络参数，核心流程包含以下三部分：
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神经网络作为参数化解函数
采用神经网络
$u_\theta(x,t)$ 逼近 PDE 的真实解$u(x,t)$ ，其中$\theta$ 为网络的可训练参数，通过调整参数让网络输出无限接近真实解。 - 物理约束嵌入损失函数 利用自动微分技术计算神经网络输出的各阶导数，将其代入目标 PDE 方程得到残差；将残差最小化作为损失函数的关键组成部分，强制网络输出满足预设的物理定律。
- 观测数据协同优化 若存在少量实验测量数据、边界条件或初始条件数据，将网络预测值与观测值的误差也纳入损失函数，实现物理约束与数据拟合的协同优化，提升模型精度与泛化能力。
本项目从基础理论到进阶优化，构建了 PINN 学习与实践体系，内容分为以下五个模块（主要以一维热传导基准问题作为例子）：
- 机器学习基础知识铺垫 从机器学习的基本概念入手，介绍模型训练、损失函数、优化器等核心要素，为后续 PINN 学习奠定理论基础。
- 传统 PDE 求解方法介绍
系统讲解经典的偏微分方程求解方法，包括：
- 解析解法：分离变量法
- 数值解法：有限差分法、有限元法 分析传统方法的优势与局限性，凸显 PINN 应对高维问题的价值。
- PINN 基础模型实现与优化
详细介绍 PINN 的模型构建流程，并对比不同优化器在训练中的表现，涉及优化器包括：
- 随机梯度下降（SGD）
- 自适应矩估计（Adam）
- 有限内存拟牛顿法（L-BFGS）
- PINN 性能进阶优化策略 引入混合高斯模型（GMM） 与 课程学习（CL） 两种优化策略，解决 PINN 训练过程中可能出现的收敛速度慢、局部最优等问题，进一步提升模型的求解精度与稳定性。
- 拓展模型探索
除基础 PINN 外，本项目还引入三类相关的先进建模方法，供读者拓展学习：
- 局部极限学习机（locELM）
- 随机特征方法（FU-FEM）
- 随机神经网络（RaNN）
本项目适用于科学计算、机器学习、应用数学等领域的初学者与研究人员，可作为 PINN 入门学习的实践教程，帮助读者理解物理信息神经网络的核心思想，掌握从基础模型构建到进阶优化的完整流程。